Heinrich Braun studierte an der Hochschule für Musik Würzburg bei Professor Günter Klaus. Er war 1978 Mitglied im Weltjugendorchester der Jeunesse musicale. 1979 wurde er als Stipendiat in die "Studienstiftung des deutschen Volkes" aufgenommen. Er ist Preisträger verschiedener Wettbewerbe u.a. gewann er 1981 den Wettbewerb der bundesdeutschen Hochschulen.
Seit 1982 ist er Kontrabassist im Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks, seit 1983 dessen 1. Solokontrabassist. Neben seiner Vorliebe für Barockmusik setzt sich Heinrich Braun für zeitgenössische Musik ein und so spielte er mit dem Kammerorchester Schloss Werneck die Uraufführung des Kontrabasskonzertes von Thomas Bracht für den Bayerischen Rundfunk ein.
Als gefragter Kammermusiker ist er bei Festivals im In- und Ausland mit verschiedenen Ensembles zu hören. Seine Kammermusikpartner waren u.a. Anna Chumachenco, Eduard Brunner, Wen-Sinn Yang, Natalia Gutman, Tabea Zimmermann, Rainer Kußmaul und Viktoria Mullova. Zudem ist er seit 1999 Mitglied im "Mullova Ensemble". In den Jahren 2002 bis 2005 wurde er als Solokontrabassist in das "Super World Orchestra" nach Tokyo eingeladen. 2005 wurde er als Gastprofessor an die Musikhochschule Frankfurt/Main berufen. Seit 2007 unterrichtet er an den Musikhochschulen in Mannheim und München.